Ινδικά Μαθηματικά
Τα αρχικά δείγματα πολιτισμού στην ινδική υποήπειρο είναι ο πολιτισμός της κοιλάδας του Ινδού που άνθισε μεταξύ του 2600 και του 1900 π.Χ. στην λεκάνη του Ινδού ποταμού. Οι πόλεις τους ήταν ορισμένες με γεωμετρική κατανομή, αλλά κανένα μαθηματικό έγγραφο δε διασώζεται από αυτόν τον πολιτισμό.[44]
Οι ινδουιστικό-αραβικοί αριθμοί εφευρέθηκαν από μαθηματικούς στην Ινδία. Τους έλεγαν " ινδουιστικό αριθμούς" . Αργότερα ονομάστηκαν " αραβικοί " αριθμοί από τους Ευρωπαίους , επειδή εισήχθησαν στη Δύση από Άραβες εμπόρους.[80]
Διάφορα σύνολα συμβόλων που χρησιμοποιούνταν για να αντιπροσωπεύσουν τους αριθμούς στο αριθμητικό σύστημα ινδουιστικό- αραβικό, εξελίχθηκαν από τους αριθμούς Brahmi . Κάθε ένα από τα περίπου δώδεκα σημαντικά σενάρια της Ινδίας έχει το δικό του αριθμό ιερογλυφικών του (όπως κάποιος θα σημείωνε όταν θα περιεργάζονται Unicode διαγράμματα).
Τα αρχαιότερα σωζόμενα μαθηματικά αρχεία στην Ινδία είναι από το Σούτρα (και χρονολογούνται μεταξύ του 8ου π.Χ. αιώνα και του 2ου αιώνα μ.Χ.),[45] όπου παραρτήματα σε θρησκευτικά κείμενα δίνουν απλούς κανόνες κατασκευής βωμών διαφόρων σχημάτων, όπως τετράγωνα, ορθογώνια, παραλληλόγραμμα και άλλα.[46] Όπως και με την Αίγυπτο, η ενασχόληση με λειτουργικά θέματα στην κατασκευή ναών δείχνει μια προέλευση των μαθηματικών μέσα από θρησκευτικές τελετουργίες.[45] Τα κείμενα Σούτρας δίνουν μεθόδους για τον τετραγωνισμό του κύκλου,δηλαδή την κατασκευή κύκλου περίπου ισοεμβαδικού ως προς δεδομένο τετράγωνο, οι οποίες συνεπάγονται πολλές διαφορετικές προσεγγίσεις της αξίας του π.[47][48] Επιπλέον υπολογίζουν την τετραγωνική ρίζα με ακρίβεια απο δύο έως και περισσότερων δεκαδικών ψηφίων, λίστες με Πυθαγόρειες τριάδες, και δίνουν μια πρώτη διατύπωση ανάλογη του Πυθαγόρειου θεωρήματος.[49] Όλα αυτά τα αποτελέσματα βρίσκονται στα βαβυλωνιακά μαθηματικά, έχοντας δεχθεί επιρροή από την περιοχή της Μεσοποταμίας.[45] Δεν είναι όμως γνωστό σε πιο βαθμό οι Sulba Sutras επηρέασαν τα μετέπειτα ινδικά μαθηματικά. Όπως και στην Κίνα, έτσι και στα μαθηματικά της Ινδίας υπάρχει έλλειψη συνέχειας: μεγάλες πρόοδοι διαδέχονται από μεγάλες περιόδους αδράνειας.[45]
Panini (5ος αιώνας π.Χ.) διαμόρφωσε κανόνες για τη Σανσκριτική γραμματεία.[50] Ο συμβολισμός τους ήταν παρόμοιος με τη σύγχρονη μαθηματική σημειογραφεία, καθώς επίσης χρησιμοποιούνται , γεωμετρικοί μετασχηματισμοί, και αναδρομικοί τύποι.Ο Πινγκάλα (περίπου 3ος-1ος αιώνας π.Χ.) στην πραγματεία του προσωδεία χρησιμοποιεί μια συσκευή που αντιστοιχεί σε ένα δυαδικό σύστημα αρίθμησης.[51][52] Οι απόψεις του για τη Συνδιαστική και το Μουσικό μέτρο αντιστοιχούν σε μια στοιχειώδη θεώρηση για το διωνυμικό θεώρημα. Το έργο του Πινγκάλα περιλαμβάνει επίσης τις βασικές ιδέες της Ακολουθίας Φιμπονάτσι (που το ονομάζει mātrāmeru ).[53]
Τα επόμενα σημαντικά μαθηματικά έγγραφα μετά τη Sulba Sutras είναι η Siddhantas. Πρόκειται για αστρονομικές πραγματείες από τον 4ο και 5ο αιώνα μ.Χ. (περίοδος Γκούπτα) και παρουσιάζει έντονη ελληνιστική επιρροή.[54] Είναι σημαντικό ότι περιέχουν την πρώτη εμφάνιση των τριγωνομετρικών σχέσεων με βάση τη μισή χορδή, όπως συμβαίνει στη σύγχρονη τριγωνομετρία, αντί για την πλήρη χορδή, όπως στην περίπτωση της Πτολεμαϊκής τριγωνομετρίας.[55] Μέσα από μια σειρά μεταφραστικών λαθών, οι λέξεις "ημίτονο" και "συνημίτονο" όπως τις γνωρίζουμε σήμερα, προέρχονται από την σανσκριτική "jiya" και "kojiya" αντίστοιχα.[55]
Κατά τον 5ο αιώνα μ.Χ., ο Αριαμπάτα έγραψε το Αριαμπατίγια, ένα μικρό σε όγκο και γραμμένο σε στίχους έργο, στο οποίο αναφέρονται κανόνες υπολογισμού που χρησιμοποιούνται στην αστρονομία και τα μαθηματικά, χωρίς όμως καμία χρήση της λογικής και της επαγωγικής μεθόδου.[56] Αν και οι μισές περίπου από τις πράξεις και τους υπολογισμούς είναι λάθος, η αξία του έργου Αριαμπατίγια έγκειτε στο ότι το δεκαδικό σύστημα θέσης και αξίας εμφανίζεται για πρώτη φορά. Αρκετούς αιώνες αργότερα, ο Αμπού Ριχάν Μπιρουνί χαρακτήρισε το Αριμπατίγια σαν ένα "μείγμα από κοινά βότσαλα και πολύτιμα κρύσταλλα".[57]
Τον 7ο αιώνα, οι Ινδοί Βράχμα προσδιόρισαν το γνωστό θεώρημα των Βράχμα,χρησιμοποιώντας μαθηματικές ταυτότητες και μαθηματικούς τύπους, και επίσης για πρώτη φορά στο έργο τους, που σε ελληνική μετάφραση σημαίνει: σωστά δομημένο δόγμα Βράχμα, με καθαρότητα προσδιορίζονται και χρησιμοποιούνται το μηδέν τόσο ως σύμβολο κράτησης θέσης όσο και ως δεκαδικό ψηφίο, και εισάγεται η χρήση του ινδοαραβικού συστήματος αρίθμησης.[58] Από τη μετάφραση του ινδικού κειμένου για τα μαθηματικά προέκυψε ότι οι ισλαμιστές μαθηματικοί εισήγαγαν αυτό το σύστημα αρίθμησης, το οποίο προσαρμόστηκε στους αραβικούς αριθμούς. Ισλαμικοί μελετητές υποστηρίζουν ότι η μετάδοση της γνώσης του αριθμητικού αυτού συστήματος έγινε στην Ευρώπη το 12ο αιώνα, εκτοπίζοντας όλα τα άλλα αριθμητικά συστήματα ανά τον κόσμο . Τον 10ο αιώνα, σχολιαστές του έργου του μαθηματικού Halayudha και του Πιγκάλα διαπίστωσαν στοιχεία ανάλογα με εκείνα της Ακολουθίας Φιμπονάτσι του τριγώνου του Πασκάλ, και του σχηματισμού πινάκων.
Το 12ο αιώνα, ο μαθηματικός Bhaskara ΙΙ[59] ζούσε στη νότια Ινδία και έγραψε εκτενώς για όλους τους μέχρι τότε γνωστούς κλάδους των μαθηματικών. Η εργασία του περιλαμβάνει μαθηματικά αντικείμενα ισοδύναμα, ή περίπου ισοδύναμα με τα απειροστικά, τα παράγωγα, το Θεώρημα μέσης τιμής και τον υπολογισμό της παραγώγου του ημιτόνου. Σε ποιο βαθμό είχει προβλέψει την εφεύρεση του λογισμού είναι ένα αμφιλεγόμενο θέμα μεταξύ των ιστορικών των μαθηματικών.[60]
Το 14ο αιώνα, ο Μαντάβα του Σανγκαμαγκράμα, ιδρυτής της λεγόμενης Σχολής αστρονομίας και μαθηματικών Κεράλα, βρήκε τη σειρά Μαντάβα–Leibniz και χρησιμοποιώντας 21 όρους, υπολόγισε την τιμή του π ως 3.14159265359. Ο Μαντάβα επινόησε επίσης τις Μαντάβα-Γρηγόριες σειρές προκειμένου να υπολογίσει το τόξο της εφαπτομένης, και τις δυναμοσειρές Μαντάβα για να καθορίσει το ημίτονο και το συνημίτονο και την προσέγγιση του Taylor.[61] Τον 16ο αιώνα, o Jyesthadeva ενοποίησε πολλές από τις εξελίξεις και τα θεωρήματα της Κεράλα σχολής στην Yukti-bhāṣā.[62] Ωστόσο, η σχολή της Κεράλα δεν διατύπωσε μια συστηματική θεωρία για την παραγώγιση και την ολοκλήρωση, ούτε υπάρχει οποιαδήποτε άμεση απόδειξη των αποτελεσμάτων τους .[63][64][65] [66] Η πρόοδος στα μαθηματικά μαζί με άλλους τομείς της επιστήμης παραμένει στάσιμη στην Ινδία, με την εγκαθίδρυση της μουσουλμανικής κυριαρχίας στην Ινδία.[67][68]