Ισλαμικά Μαθηματικά
Η Ισλαμική Αυτοκρατορία εδραιώθει σε ολόκληρη την Περσία, Μέση Ανατολή, Κεντρική Ασία, Βόρεια Αφρική, Ιβηρική Χερσόνησο, και τον 8ο αιώνα σε μέρη της Ινδίας πραγματοποίησε σημαντικές συνεισφορές στο κλάδο των Μαθηματικών. Παρόλα αυτά ένα μεγάλο μέρος των Ισλαμικών μαθηματικών κειμένων είναι γραμμένο στα Αραβικά,όπου τα περισσότερα από αυτά δεν είναι γραμμένα από Άραβες μελετητές σε όλο τον Ισλαμικό κόσμο την εποχή εκείνη,το οποίο μοιάζει πολύ στην ελληνική κατάσταση που επικρατούσε εκείνη την περίοδο στον Ελληνικό Κόσμο. Οι Πέρσες συνέβαλαν στον κόσμο των Μαθηματικών παράλληλα με τους Άραβες.
Τον 9ο αιώνα, ο Πέρσης μαθηματικός Μοχάμεντ Ιμπν Μουσά Αλ Χουαρίζμι έγραψε αρκετά σημαντικά βιβλία για τα Ινδουιστικά-Αραβικά νούμερα και για την μέθοδο επίλυσης εξισώσεων. Το βιβλίο του On the Calculation with Hindu Numerals, γράφτηκε περίπου το 825, παράλληλα με την δουλεία του Αλ-Κίντι, έπαιξαν καθοριστικό ρόλο στη διάδοση των Ινδικών Μαθηματικών και Ινδικών αριθμών στη Δύση. Η λέξη αλγόριθμος προέρχεται από την λατινική λέξη, Algoritmi, και η λέξη άλγεβρα από τον τίτλο ενός από τα έργα του , Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī hīsāb al-ğabr wa’l-muqābala (The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing). Έδωσε μια ακριβέστατη εξήγηση για την επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων με θετικές ρίζες,[69] και ήταν ο πρώτος που δίδαξε άλγεβρα με στοιχειώδης μορφή και για τους δικούς του λόγους. .[70] Επίσης,ασχολήθηκε με την θεμελιώδης μέθοδο της "αναγωγής" και "υπόλοιπο", αναφερόμενος στην μεταφορά των αφαιρετέων όρων στην άλλη πλευρά της εξίσωσης , έτσι ώστε, την διαγραφή των όμοιων όρων στις αντίθετες πλευρές της εξισώσεις. Αυτή είναι η λειτουργία την οποία ο al-Khwārizmī περιέγραψε ως al-jabr.[71] Η Άλγεβρα του δεν ασχολείται από δω και πέρα "με σειρές προβλημάτων που χρειάζονται λύση,αλλά μια έκθεση η οποία αρχίζει με βασικούς όρους όπου ο συνδυασμός τους θα πρέπει να δίνει όλες τις πιθανές λύσεις για την εξίσωση,η οποία αποτελεί το ακριβές μοντέλο της μελέτης." Επιπλέον μελετάει μια εξίσωση για δικό του σκοπό και "κατά γενικό τρόπο, σε τέτοιο βαθμό έτσι ώστε να μην προκύπτει απλά κατά την διάρκεια επίλυσης ενός προβλήματος, αλλά καλείται να προσδιορίσει μια άπειρη τάξη προβλημάτων"[72]
Στην Αίγυπτο, ο Αμπού Καμίλ επέκτεινε την άλγεβρα στο σύνολο των άρρητων αριθμών , την αποδοχή των τετραγωνικών ριζών και των τέταρτων ριζών ως τις λύσεις και τους συντελεστές με τετραγωνικές εξισώσεις. Ανέπτυξε επίσης τεχνικές που χρησιμοποιούνται για την επίλυση των τριών μη γραμμικών εξισώσεων με τρεις άγνωστες μεταβλητές. Ένα μοναδικό χαρακτηριστικό των έργων του, είναι ότι προσπαθεί να βρει όλες τις πιθανές λύσεις για ορισμένα από τα προβλήματά του, συμπεριλαμβανομένου ενός όπου βρήκε 2676 λύσεις. Τα έργα του διαμόρφωσαν μια σημαντική βάση για την ανάπτυξη της άλγεβρας και επηρέασαν αργότερα μαθηματικούς , όπως ο Αl - Karaji και ο Fibonacci .
Περισσότερες βελτιώσεις στον τομέα της άλγεβρας πραγματοποιήθηκαν από τον Al-Karaji στην διατριβή του al-Fakhri, όπου ανέλυσε την μεθοδολογία του ενσωμάτωσης δυνάμεων ακέραιων αριθμών και ριζών ακέραιων αριθμών σε μια άγνωστη ποσότητα.Γύρω στο 1000 μ.Χ, σε ένα βιβλίο του Al-Karaji υπάρχει περίπου μια απόδειξη με μαθηματική επαγωγή,ο οποίος την χρησιμοποίησε για να αποδείξει το διωνυμικό θεώρημα,το τρίγωνο του Pascal και το άθροισμα των ολοκληρωμάτων των κύβων.[73] Ο ιστορικός των μαθηματικών,F. Woepcke,[74] παίνευσε τον Al-Karaji σχετικά με το γεγονός ότι ήταν ''ο πρώτος που εισήγαγε την θεωρία του αλγεβρικού λογισμού.''Επίσης τον 10ο αιώνα, Abul Wafa μετέφρασε την δουλεία του Διόφαντου στα Αραβικά. Ibn al-Haytham ήταν ο πρώτος μαθηματικός που εξήγαγε τον τύπο του αθροίσματος τέταρτης δύναμης,χρησιμοποιώντας μια μέθοδο οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί γενικά για το άθροισμα οποιασδήποτε ακέραιας δύναμης.Χρησιμοποίησε την μέθοδο της ολοκλήρωσης για να υπολογίσει τον όγκο μιας παραβολής και ήταν ικανός να γενικέψει το αποτέλεσμά του αυτό για την ολοκλήρωση πολυωνύμων μεγαλύτερα από τετάρτου βαθμού. Έφτασε πολύ κοντά στο να ανακαλύψει έναν γενικό τύπο για την ολοκλήρωση πολυωνύμων αλλά δεν ασχολήθηκε με πολυώνυμα μεγαλύτερα του τέταρτου βαθμού.[75]
Στο τέλος του 11ου αιώνα, ο Ομάρ Καγιάμ έγραψε το Συζητήσεις των δυσκολιών στον Ευκλείδη, ένα βιβλίο σχετικά με τα ελαττώματα που αντιλήφθηκε στα Στοιχεία του Ευκλείδη, και ιδιαίτερα στο αξίωμα των παράλληλων ευθειών. Ήταν επίσης ο πρώτος που βρήκε την γενική γεωμετρική λύση στην κυβική εξίσωση. Επίσης άσκησε μεγάλη επιρροή και στην ημερολογιακή μεταρρύθμιση.[εκκρεμεί παραπομπή]
Τον 13ο αιώνα, Nasir al-Din Tusi (Nasireddin)πραγματοποίησε βελτιώσεις στην σφαιρική τριγωνομετρία .Επίσης πρόσθεσε μια σημαντική δουλειά σχετικά με το αξίωμα των παράλληλων ευθειών του Ευκλείδη.Τον 15ο αιώνα, Ghiyath al-Kashi υπολόγισε την τιμή τουπ μέχρι το 16ο δεκαδικό ψηφίο.Ο Kashi επίσης είχε έναν αλγόριθμο ο οποίος υπολόγιζε την ν-οστή ρίζα,ο οποίος ήταν μια ειδική περίπτωση των μεθόδων που ανακάλυψαν αιώνες αργότερα ο Ruffini and Horner.
Άλλα επιτεύγματα των Μουσουλμανικών Μαθηματικών κατά την διάρκεια αυτής της περιόδου είναι η σημειογραφία της υποδιαστολής στους Αραβικούς αριθμούς, η ανακάλυψη σύγχρονων τριγωνομετρικών συναρτήσεων εκτός από τις ημιτονοειδής,η εισαγωγή του al-Kindi's στην κρυπτανάλυση και στις ανάλυση συχνοτήτων, η βελτίωση της αναλυτικής γεωμετρίας από τον Ibn al-Haytham, το ξεκίνημα της αλγεβρικής γεωμετρίας από τον Ομάρ Καγιάμ και η βελτίωση μιας αλγεβρικής σημειογραφίας από τον al-Qalasādī.[76]
Κατά την διάρκεια της Οθωμανικής Αυτοκρατορίας και την δυναστεία των Σαφαβίδων από τον 15ο αιώνα,την ανάπτυξη των Ισλαμικών μαθηματικών διαδέχθηκε η στασιμότητα.