Μαθηματικά και Βυζαντινή μουσική

2015-09-02 12:00

Ἕνα ἀπὸ τὰ θέματα τῆς μουσικῆς, ποὺ ἀπασχόλησε τοὺς πρώτους θεωρητικούς της, ἦταν τὰ μουσικὰ διαστήματα. Ξεκινώντας ἀπὸ ἁπλές, γιὰ τὰ σημερινὰ δεδομένα, προτάσεις, κάνοντας «ὑπολογισμοὺς» μὲ τὶς τότε γνωστὲς μαθηματικὲς θεωρίες, οἱ ἄνθρωποι αὐτοὶ μᾶς παρέδωσαν ἕναν ἀνεκτίμητο θησαυρὸ γύρω ἀπὸ τὸ θέμα «Μουσικὸ διάστημα».

Σύμφωνα μὲ τοὺς ἀρχαίους θεωρητικοὺς τῆς μουσικῆς:

«Διάστημα ἐστὶ τὸ ὑπὸ δυὸ φθόγγων ὁρισμένων, μὴ τὴν αὐτὴν τάσιν ἐχόντων». (Ἀριστόξενος). Ἡ λέξη τάση παράγεται ἀπὸ τὸ ρῆμα τείνω, ποὺ σημαίνει τεντώνω. Σημαίνει λοιπὸν τὸ τέντωμα μιᾶς χορδῆς κι, ἑπομένως, τὸ μουσικὸ ὕψος ἑνὸς φθόγγου. Ὁ Κλεονίδης ἀναφέρει σχετικά: «καλοῦνται δὲ αἱ τάσεις καὶ φθόγγοι. Τάσεις μὲν παρὰ τὸ τετάσθαι, φθόγγοι ἐπεὶ ὑπὸ φωνῆς ἐνεργοῦνται».

«Διάστημα ἐστὶ τὸ ὑπὸ δυὸ φθόγγων περιεχομένων» (Γαυδέντιος ὁ Φιλόσοφος)

«Διάστημα δέ (ἐστι) τὸ περιεχόμενον ὑπὸ δυὸ φθόγγων ἀνομοίων ὀξύτητι καὶ βαρύτητι». (Κλεονίδης. Τὸν ἴδιο ὁρισμὸ δίνει καὶ ὁ Βακχεῖος).

Τὸ πιὸ γνωστὸ μουσικὸ ὄργανο ποὺ χρησιμοποιήθηκε γιὰ τὸν προσδιορισμὸ τῶν μουσικῶν διαστημάτων ἦταν τὸ μονόχορδο. Ὅπως φαίνεται ἀπὸ τὸ ὄνομά του, ἦταν ἕνα ὄργανο μὲ μία χορδὴ ποὺ ἀπὸ ἀρκετοὺς μελετητὲς τοποθετεῖται στὴν οἰκογένεια τοῦ λαούτου δηλαδὴ μὲ βραχίονα, χέρι (Th. Reinach La mus. gr. 127). Τὸ μονόχορδο χρησιμοποιήθηκε γιὰ τὸν καθορισμὸ τῶν μαθηματικῶν σχέσεων τῶν μουσικῶν ἤχων. Ὀνομάζονταν καὶ «Πυθαγόρειος κανών» διότι ἀπέδιδαν τὴν ἐφεύρεσή του στὸν Πυθαγόρα. Πολλοὶ μεγάλοι μαθηματικοὶ ἐργάσθηκαν γιὰ τὸν ὑπολογισμὸ τῶν μουσικῶν διαστημάτων πάνω στὸν κανόνα, ὅπως ὁ Ἀρχύτας (ἐργάσθηκε στὶς ἀναλογίες τῶν διαστημάτων τοῦ τετραχόρδου στὰ τρία γένη, διατονικό, χρωματικὸ καὶ ἐναρμόνιο. Ἀνακάλυψε τὸ λόγο τῆς μεγάλης τρίτης στὸ ἐναρμόνιο γένος), ὁ Ἐρατοσθένης ὁ Δίδυμος [σ᾿ αὐτὸν ἀποδίδεται ὁ καθορισμὸς τοῦ «κόμματος τοῦ Διδύμου», ποὺ εἶναι ἡ διαφορὰ μεταξὺ τοῦ μείζονος τόνου (9/8) καὶ τοῦ ἐλάσσονος (10/9) δηλαδὴ 81/80].

Πρὸς τὴν κατεύθυνση τοῦ καθορισμοῦ τῶν τονιαίων διαστημάτων τῆς Βυζαντινῆς Μουσικῆς, ἐργάσθηκε πρῶτος ὁ θεωρητικὸς Χρύσανθος. Τ᾿ ἀποτελέσματα τῆς ἐργασίας του περιέχονται στὸ Μέγα Θεωρητικόν.

Σύμφωνα μὲ τὸν Χρύσανθο, ἡ σειρὰ τῶν ὀκτὼ φθόγγων τῆς διατονικῆς κλίμακας εἶναι ἡ παρακάτω: ΠΑ - ΒΟΥ - ΓΑ - ΔΙ - ΚΕ - ΖΩ - ΝΗ - ΠΑ,

Αὐτὰ τὰ διαστήματα τὰ ὀνομάζουμε ὅλα τόνους. Κατὰ δὲ τοὺς ἀρχαίους Ἕλληνες τὰ μὲν πέντε ὀνομάζονται τόνοι, τὰ δὲ δυὸ ΖΩ - ΝΗ καὶ ΒΟΥ - ΓΑ ὀνομάζονται λείμματα. Κατὰ δὲ τοὺς εὐρωπαίους ΚΕ - ΖΩ, ΒΟΥ - ΓΑ ὀνομάζονται ἡμίτονα τὰ δὲ λοιπὰ πέντε τόνοι. Και ὁ συγγραφέας τοῦ Μεγάλου Θεωρητικοῦ συνεχίζει ἀναφέροντας ὅτι ὁ μείζων τόνος ἔχει λόγο πρὸς μὲν τὸν ἐλάσσονα τόνο 12 πρὸς 9. Πρὸς δὲ τὸν ἐλάχιστον 12 πρὸς 7. Ἄρα καὶ ὁ ἐλάσσων τόνος ἔχει πρὸς μὲν τὸν μείζονα τόνο, τὰ 9 πρὸς τὰ 12. Πρὸς δὲ τὸν ἐλάχιστον 9 πρὸς 7. Ἑπομένως καὶ ὁ ἐλάχιστος τόνος ἔχει λόγο πρὸς μὲν τὸν μείζονα τόνο 7 πρὸς 12, πρὸς δὲ τὸν ἐλάσσονα 7 πρὸς τὰ 9. Ὥστε ἂν ὑποτεθεῖ ὅτι τὸ διάστημα τοῦ μείζονος τόνου εἶναι ἴσο μὲ 12 γραμμές, βρίσκεται ὅτι τὸ διάστημα τοῦ μὲν ἐλάσσονος τόνου ἰσοῦται μὲ 9 γραμμές, τοῦ δὲ ἐλάχιστου τόνου ἰσοῦται μὲ 7 γραμμές. Διαφωνίες σχετικὰ μὲ τὸν τρόπο ποὺ ἐργάσθηκε ὁ Χρύσανθος γιὰ τὸν ὑπολογισμὸ τῶν μουσικῶν διαστημάτων στὴν πανδουρίδα ἐξέφρασαν τὰ μέλη τῆς Μουσικῆς Πατριαρχικῆς Ἐπιτροπῆς. Ἡ ἐν λόγῳ ἐπιτροπὴ συστάθηκε τὸ 1881 καὶ τὴν ἀποτελοῦσαν: ὁ Ἀρχ. Γερμανὸς Ἀφθονίδης, ὁ Πρωτοψάλτης Γεώργιος Βιολάκης, ὁ Εὐστράτιος Παπαδόπουλος, ὁ Ἰωάσαφ μοναχός, ὁ Παναγιώτης Κηλτζανίδης, ὁ Ἀνδρέας Σπαθάρης καὶ ὁ Γεώργιος Πρωγάκης. Ἡ ἐπιτροπὴ βελτίωσε οὐσιαστικὰ ὁρισμένα σημεῖα τοῦ θεωρητικοῦ ἔργου τοῦ Χρύσανθου.Ἡ Μουσικὴ Ἐπιτροπὴ ἐργάσθηκε στὸ Φανάρι ὡς ἑξῆς: σύμφωνα μὲ τὶς ὁδηγίες ποὺ παρέχει τὸ Μέγα Θεωρητικό, ὅρισε τοὺς δεσμοὺς σὲ χορδὴ πρὸς παραγωγὴ τοῦ τετραχόρδου ΔΙ - ΝΗ, λαμβάνοντας

• γιὰ τὸν ΔΙ τὸ μῆκος τῆς χορδῆς 1
• γιὰ τὸν ΚΕ τὸ μῆκος τῆς χορδῆς τὰ 8/9
• γιὰ τὸν ΖΩ τὸ μῆκος τῆς χορδῆς τὰ 22/27
• γιὰ τὸν ΝΗ τὸ μῆκος τῆς χορδῆς τὰ 3/4

Στις θέσεις αὐτὲς καὶ στὸ μάνικο ἐγχόρδου ὀργάνου τοποθετήθηκαν κινούμενα τάστα. Παρ᾿ ὅλα αὐτὰ ὅμως ὑπῆρχαν προβλήματα: «ἐντεῦθεν φαίνεται ὅτι βασιλεύει σύγχισις περὶ τὴν βάσιν αὐτῆς τῆς ἐργασίας. Ἀλλὰ ἐκτὸς τῆς συγχύσεως ταύτης ἀμφότεροι αἱ ἀναλογίαι αὕται οὐδὲν σημαίνουσιν ἀκουστικῶς. Οἱ δὲ ἀριθμοὶ 12, 8, 7 ἢ 88, 66, 63 δύνανται τὸ πολὺ νὰ ἔχωσιν εἰκονικὴν σημασίαν .... Ἐν τῇ παραδόσει λοιπὸν μόνη νομίζει ἡ Ἐπιτροπὴ ὅτι ἔγκειται ἡ θεραπεία τοῦ κακοῦ». Γι᾿ αὐτὸ λοιπὸν τὸ σκοπὸ κλίθηκαν οἱ δάσκαλοι τῆς ἐποχῆς οἱ ὁποῖοι ἀκούγοντας τὰ διαστήματα τὰ προτεινόμενα ἀπὸ τὴν Ἐπιτροπή, «ἐξέφραζον τὴν ἑαυτῶν γνώμην. Καὶ ἐὰν μὲν ἡ ἀπόδοσις ἐμαρτυρεῖτο πιστὴ καὶ γνησία, συνεκρίνοντο οἱ φθόγγοι τοῦ ὑπ᾿ ὄψιν ὀργάνου (τοῦ ψαλτηρίου) δι᾿ ὁμοφωνίας πρὸς τοὺς φθόγγους τοῦ μονοχόρδου καὶ ἐσημειοῦντο τὰ ἀντίστοιχα μήκη τῆς αὐτῆς χορδῆς ἐπὶ τὰς ὑπὸ τὴν βάσανον διαιρέσεις. Εἰ δὲ μή, ἀπερρίπτοντο αὑταὶ ὡς ἐσφαλμένοι καὶ νόθοι». Ἀπὸ τὶς παραπάνω θέσεις καθιερώθηκαν τὰ μήκη χορδῶν:

Από τὴ φυσικὴ γνωρίζουμε ὅτι ἡ συχνότητα ἑνὸς ἤχου εἶναι ἀντιστρόφως ἀνάλογη τοῦ μήκους χορδῆς. Μ᾿ αὐτὸν τὸν τρόπο προκύπτουν οἱ παρακάτω σχέσεις συχνοτήτων μὲ ἀναφορὰ τὸ φθόγγο ΝΗ1

Στη σημερινὴ πραγματικότητα, τόσο ἡ μουσικὴ θεωρία, ὅσο καὶ ἡ μουσικὴ πράξη, ἑρμηνεύονται μὲ φυσικοὺς νόμους, ποὺ μὲ τὴ σειρά τους διατυπώνονται μὲ μαθηματικὲς σχέσεις.

Στὴν ἀκουστικὴ (στὸν ἰδιαίτερο κλάδο τῆς φυσικῆς ποὺ ἔχει ὡς ἀντικείμενο τὸν ἦχο καὶ τὶς ἰδιότητές του) ἕνα μουσικὸ διάστημα ἐκφράζεται σὰν ὁ λόγος δυὸ συχνοτήτων. Σὲ ὁρισμένες περιπτώσεις ὁ λόγος εἶναι ἁπλῆς μορφῆς ὅπως γιὰ παράδειγμα οἱ γνωστοί μας λόγοι τῆς καθαρῆς πέμπτης (3/2), τῆς καθαρῆς τετάρτης (4/3), τῆς ὀκτάβας (2/1) κ.λ.π. Σὲ ἄλλες περιπτώσεις, ἐλλείψει μεγίστου κοινοῦ διαιρέτη, οἱ ὅροι τοῦ λόγου εἶναι μεγάλοι ἀριθμοὶ ὅπως στὸ διάσχισμα (2048/2025). Προκύπτει λοιπὸν τὸ συμπέρασμα ὅτι εἶναι δύσκολη, ἂν ὄχι ἀδύνατη, ἡ σύγκριση δυὸ μουσικῶν διαστημάτων.

Ἡ ἁπλούστευση στὴν παράσταση τῶν μουσικῶν διαστημάτων ἐπῆλθε μὲ τὴ βοήθεια τῆς λογαριθμικῆς σχέσης

στὴν παραπάνω σχέση, ὅπου f1, f2 οἱ συχνότητες τῶν φθόγγων τοῦ μουσικοῦ διαστήματος καὶ f2>f1. Τὸ k εἶναι μία σταθερὰ ἡ τιμὴ τῆς ὁποίας καθορίζει καὶ ἕνα σύστημα μονάδων μουσικῶν διαστημάτων.

Συγκερασμοὶ γιὰ τὰ μουσικὰ διαστήματα

Ἀνάλογα μὲ τὶς τιμὲς τῆς σταθερᾶς k (οἱ ὁποῖες ἀφοροῦν διαίρεση τῆς ὀκτάβας σὲ τόσα τμήματα ὅσο ἡ ἀντίστοιχη τιμή), ἔχουμε κι ἕνα σύστημα μονάδων μουσικῶν διαστημάτων. Οἱ πιὸ γνωστὲς καὶ χαρακτηριστικὲς τιμὲς τῆς σταθερᾶς k, ἀναφέρονται στὴ συνέχεια.

ΤΙΜΗ ΣΤΑΘΕΡΑΣ k	ΟΝΟΜΑΣΙΑ ΜΟΝΑΔΑΣ ΤΩΝ ΜΟΥΣΙΚΩΝ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ
12	Συγκερασμένο Εὐρωπαϊκὸ ἡμιτόνιο
53	κόμμα τοῦ Μερκάτορα
68	Ἀραβικὴ μονάδα, βυζαντινὸ ἠχομόριο
72	Βυζαντινὸ ἠχομόριο
301	Savart
665	Delfi unit
1200	Cent