Σύγχρονα Μαθηματικά
Κατά την διάρκεια του 19ου αιώνα τα μαθηματικά έγιναν όλο και περισσότερα αφηρημένα. Τον 19 αιώνα έζησε ο Καρλ Φρίντριχ Γκάους (1777–1855). Αφήνοντας κατά μέρος τις πάρα πολλές συνεισφορές του στην επιστήμη την Θεωρητικών Μαθηματικών είναι γνωστός για το επαναστατικό του έργο πάνω στις λειτουργίες πάνω πολύπλοκες μεταβλητές, στην γεωμετρία και στην σύγκλιση σειρών. Επίσης έδωσε τις πρώτες ικανοποιητικές αποδείξεις στο θεμελιώδες [93]Θεώρημα της Άλγεβρας και του τετραγωνικού νόμου αντιστροφής.
Αυτόν τον αιώνα αναπτύχθηκαν δύο από τις μορφές μη Ευκλείδειας Γεωμετρίας,όπου το αξίωμα της παραλληλίας από την Ευκλείδεια Γεωμετρία[94] δεν ισχύει. Ο Ρώσος μαθηματικός Nikolai Ivanovich Lobachevsky και ο ανταγωνιστής του, μαθηματικός János Bolyai, ανεξάρτητα ο καθένας όρισε και μελέτησε την την Υπερβολική Γεωμετρία, όπου η μοναδικότητα των παραλλήλων ευθειών δεν ισχύει. Σε αυτή την γεωμετρία το άθροισμα των γωνιών σε ένα τρίγωνο μπορούσε να είναι λιγότερο από 180 °. Η ελλειπτική γεωμετρία αναπτύχθηκε αργότερα τον 19ο αιώνα από τον Γερμανό μαθηματικό Bernhard Riemann, εδώ παράλληλες δεν μπορούν να βρεθούν και ένα τρίγωνο προσθέτωντας τις γωνίες μπορεί να είναι παραπάνω από 180° μοίρες.Ο Riemann ανέπτυξε επίσης την Riemann θεωρία , η οποία ενοποιεί και γενικεύει τους τρεις τύπους γεωμετρίας, και ορίζει την έννοια της πολλαπλότητας, η οποία γενικεύει τις ιδέες των καμπυλών και επιφανειών.
Ο 19ος αιώνας είδε την αρχή πολλών αφηρημένων μορφών άλγεβρας. Ο Hermann Grassmann από την Γερμανία ήταν ο πρώτος που έδωσε μία πρώτη εκδοχή των διανυσματικών χώρων. Ο William Rowan Hamilton από την Ιρλανδία ανέπτυξε μία αντιμεταθετική άλγεβρα.Ο George Boole επινόησε μία άλγεβρα η οποία στην συνέχεια εξελίχθηκε σε μία άλγεβρα Boolean, η οποία είχε μόνο τους αριθμούς 0 και 1. Η συγκεκριμένη άλγεβρα ήταν η αφετηρία της μαθηματικής λογικής και έχει σημαντικές εφαρμογές στην επιστήμη των υπολογιστών.
Ο Augustin-Louis Cauchy, Bernhard Riemann, και Karl Weierstrass αναδιατύπωσαν τον λογισμό σε έναν πιο αυστηρό τρόπο.
Επίσης, για πρώτη φορά, τα όρια των μαθηματικών ερευνήθηκαν. Ο Niles Henrik Abel, από την Νορβηγία και ο Evariste Galois[95], από την Γαλλία, απέδειξαν ότι δεν υπάρχει γενική αλγεβρική μέθοδος για την επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων βαθμού μεγαλύτερου από τέσσερα (Abel–Ruffini theorem) .Άλλοι μαθηματικοί του 19ου αιώνα, χρησιμοποίησαν αυτήν την απόδειξη και έδειξαν ότι η χρήση χάρακα και διαβήτη δεν είναι αρκετή για να διαιρεθεί στα τρία μια αυθαίρετη γωνία,να καταστασκευαστεί μία πλευρά του κύβου από το διπλάσιο του όγκου ενός δεδομένου κύβου, ούτε να κατασκευάσει ένα τετράγωνο ίσο σε έκταση με δεδομένο κύκλο. Οι μαθηματικοί είχαν μάταια προσπαθήσει να λύσουν όλα αυτά τα προβλήματα από την εποχή των αρχαίων Ελλήνων. Από την άλλη πλευρά, ο περιορισμός των τριών διαστάσεων στη γεωμετρία ξεπεράστηκε κατά τον 19ο αιώνα, μέσω εκτιμήσεων του χώρου των παραμέτρων και των hypercomplex αριθμών.
Ο Abel και ο Galois,μέσω των ερευνών ,βρίσκοντας λύσεις σε διάφορες πολυωνυμικές εξισώσεις, έθεσαν τις βάσεις για την περαιτέρω εξέλιξη της θεωρίας ομάδων και των τομέων σε σχέση με την αφηρημένη άλγεβρα. Κατά τον 20ο αιώνα οι φυσικοί και άλλοι επιστήμονες είχαν δει τη θεωρία της ομάδας ως έναν ιδανικό τρόπο για να σπουδάσουν συμμετρία.
Αργότερα τον 19ο αιώνα , ο George Cantor καθόρισε τα πρώτα θεμέλια της θεωρίας συνόλων, γεγονός που επέτρεψε την αυστηρή αντιμετώπιση της έννοιας του απείρου και είχε γίνει η κοινή γλώσσα όλων σχεδόν των μαθηματικών. Η θεωρία συνόλων του Cantor, και η άνοδος της μαθηματικής λογικής στα χέρια του Peano, LEJ Brouwer, David Hilbert, Bertrand Russell, και του Whitehead, ξεκίνησε μια πολύχρονη συζήτηση πάνω στα θεμέλια των μαθηματικών.
Τον 19ο αιώνα ιδρύθηκαν διάφορες μαθηματικές εταιρείες όπως: η Μαθηματική Εταιρεία του Λονδίνου το 1865, η Μαθηματική Εταιρεία της Γαλλίας το 1872, το Circolo Matematico di Palermo το 1884, η Μαθηματική Εταιρεία του Εδιμβούργου το 1883, και η Αμερικανική Μαθηματική Εταιρεία 1888. Η πρώτη διεθνής, κοινωνία ειδικού ενδιαφέροντος, η Quaternion Εταιρεία ιδρύθηκε το 1899, στο πλαίσιο ενός φορέα αμφιλεγόμενο.
Το 1897 , ο Hensel εισήγαγε τους εξαρτημένους απο το π αριθμούς (π-adic αριθμούς).
20ος αιώνας
Ο 20ος αιώνας είδε τα μαθηματικά να γίνονται ένα σημαντικό επάγγελμα. Κάθε χρόνο, χιλιάδες νέα διδακτορικά στα μαθηματικά απονεμήθηκαν, και οι θέσεις εργασίας ήταν διαθέσιμες τόσο στη διδασκαλία όσο και στη βιομηχανία. Μια προσπάθεια στον κατάλογο των περιοχών και τις εφαρμογές των μαθηματικών έγινε με την εγκυκλοπαίδεια του Klein.
Σε μια ομιλία 1900 λέξεων στο Διεθνές Συνέδριο των Μαθηματικών, ο Ντάβιντ Χίλμπερτ καθόρισε ένα κατάλογο 23 άλυτων προβλημάτων των μαθηματικών. Τα προβλήματα αυτά , που εκτείνονται σε πολλούς τομείς των μαθηματικών , σχηματίζουν μια κεντρική εστίαση για ένα μεγάλο μέρος των μαθηματικών του 20ου αιώνα. Σήμερα, 10 έχουν λυθεί , 7 εν μέρει επιλυθεί , και 2 είναι ακόμη ανοικτά. Τα υπόλοιπα 4 είναι υπερβολικά χαλαρά σχεδιασμένα για να δηλωθούν ως λυμμένα ή όχι .
Αξιοσημείωτες ιστορικές εικασίες τελικά αποδείχθηκαν. Το 1976 , ο Wolfgang Haken και Kenneth Appel χρησιμοποίησε ηλεκτρονικό υπολογιστή για να αποδείξει το θεώρημα των τεσσάρων χρωμάτων. Ο Άντριου Γουάιλς, με βάση τις εργασίες των άλλων, απέδειξε το τελευταίο θεώρημα του Φερμά το 1995. Ο Paul Cohen και ο Κουρτ Γκέντελ απέδειξαν ότι η υπόθεση της συνεχούς είναι ανεξάρτητη της (δε μπορούσε ούτε να αποδειχθεί ούτε διαψεύδεται από τα τυποποιημένα αξιώματα της θεωρίας συνόλων). Το 1998 ο Thomas Callister Hales απέδειξε την εικασία του Κέπλερ.
Μαθηματικές συνεργασίες άνευ προηγουμένου μέγεθος και πεδίου εφαρμογής πραγματοποιήθηκαν. Ένα παράδειγμα είναι η κατάταξη των πεπερασμένων απλών ομάδων ( που ονομάζεται επίσης ως « τεράστιο θεώρημα » ) , του οποίου η απόδειξη μεταξύ του 1955 και του 1983, απαιτούνται 500 περίεργα άρθρα περιοδικών από περίπου 100 συγγραφείς , και δεκάδες χιλιάδες σελίδες. Μια ομάδα Γάλλων μαθηματικών , συμπεριλαμβανομένων των Jean Dieudonné και André Weil, εξέδωσαν με το ψευδώνυμο " Nicolas Bourbaki » ,μια προσπάθεια να εκθέσουν όλα τα γνωστά μαθηματικά ως ένα συνεκτικό αυστηρό σύνολο. Τα αποτελέσματα από δεκάδες τόμους είχε μια αμφιλεγόμενη επίδραση στη μαθηματική εκπαίδευση.
Η διαφορική γεωμετρία ήρθε στη δική του, όταν ο Αϊνστάιν χρησιμοποίησε τη γενική σχετικότητα . Ολόκληροι νέοι τομείς των μαθηματικών , όπως η μαθηματική λογική , τοπολογία και τη θεωρία παιγνίων του Τζον φον Νόιμαν άλλαξαν τα είδη των ερωτήσεων που θα μπορούσαν να απαντηθούν με μαθηματικές μεθόδους. Όλα τα είδη δομών αντλούνται με αξιώματα και έχουν ονόματα όπως μετρικοί χώροι , τοπολογικοί χώροι κ.λπ. Όπως κάνουν οι μαθηματικοί , η έννοια της αφηρημένης δομής ήταν αφαιρετικά η ίδια και οδήγησε στην κατηγορία της θεωρίας .Οι Grothendieck και Serre αναδιατύπωσαν την αλγεβρική γεωμετρία χρησιμοποιώντας κομμάτια θεωρίας. Μεγάλη πρόοδος σημειώθηκε στην ποιοτική μελέτη των δυναμικών συστημάτων που Poincaré που είχε αρχίσει από το 1890. Η Θεωρία του Μέτρου αναπτύχθηκε στα τέλη του 19ου και στις αρχές του 20ου αιώνα. Οι εφαρμογές των μέτρων περιλαμβάνουν το ολοκλήρωμα Lebesgue ,το axiomatisation Kolmogorov της θεωρία των πιθανοτήτων , και η ergodic θεωρία. Η θεωρία επεκτάθηκε σε σημαντικό βαθμό. Η Κβαντομηχανική οδήγησε στην ανάπτυξη της λειτουργικής ανάλυσης. Άλλες νέες περιοχές περιλαμβάνουν, τη θεωρία Laurent Schwartz της διανομής, το σταθερό σημείο θεωρίας, τη μοναδικότητα της θεωρίας και τη θεωρία καταστροφής René Thom , το μοντέλο της θεωρίας , και fractals του Mandelbrot . Η θεωρία Lie με Lie ομάδες και άλγεβρες έγινε ένας από τους σημαντικότερους τομείς της μελέτης .
Η μη τυπική ανάλυση , που θεσπίστηκε με τον Αβραάμ Robinson , rehabillitated απειροελάχιστη προσέγγιση στο λογισμό , ο οποίος είχε πέσει σε ανυποληψία υπέρ της θεωρίας των ορίων , επεκτείνοντας το πεδίο των πραγματικών αριθμών με τις hyperreal αριθμούς που περιλαμβάνουν απειροελάχιστη και άπειρες ποσότητες . Ένα ακόμη μεγαλύτερο σύστημα αριθμού , οι σουρεαλιστική αριθμοί ανακαλύφθηκαν από τον John Horton Conway σε σχέση με συνδυαστικά παιχνίδια.
Η ανάπτυξη και τη συνεχή βελτίωση των υπολογιστών, αρχικά στις μηχανικές αναλογικές μηχανές και, στη συνέχεια, στις ψηφιακές ηλεκτρονικές συσκευές , επέτρεψε τη βιομηχανία να ασχοληθεί με όλο και με μεγαλύτερες ποσότητες δεδομένων για τη διευκόλυνση της μαζικής παραγωγής, της διανομής και της επικοινωνίας , καθώς και τη δημιουργία νέων τομέων των μαθηματικών για την ενασχόληση με αυτό: Η Θεωρία υπολογισιμότητας του Άλαν Τούρινγκ: η θεωρία της πολυπλοκότητας, η Χρήση του Derrick Henry Lehmer της ENIAC για περαιτέρω Θεωρία Αριθμών και η δοκιμή του Lucas - Lehmer, η Θεωρία της πληροφορίας του Claude Shannon, η επεξεργασία σήματος: ανάλυσης δεδομένων, η βελτιστοποίηση και σε άλλους τομείς της επιχειρησιακής έρευνας .Στους προηγούμενους αιώνες πολλοί μαθηματικοί έδωσαν έμφαση στο λογισμό και στις συνεχείς συναρτήσεις , αλλά η άνοδος των δικτύων πληροφορικής και επικοινωνιών οδήγησε σε μια αυξανόμενη σημασία των διακριτών εννοιών και την επέκταση της Συνδυαστικής συμπεριλαμβανομένων της θεωρία γραφημάτων. Οι ικανότητες ταχύτητας και επεξεργασίας δεδομένων των υπολογιστών επέτρεψε επίσης την αντιμετώπιση των μαθηματικών προβλημάτων που ήταν πάρα πολύ χρονοβόρα για να υπολογιστούν με μολύβι και χαρτί , οδηγώντας σε τομείς όπως η αριθμητική ανάλυση και στους συμβολικούς υπολογισμούς. Μερικές από τις πιο σημαντικές μεθόδους και αλγορίθμους του 20ου αιώνα είναι : ο αλγόριθμος simplex , ο ταχύς μετασχηματισμός Fourier, η διόρθωση λαθών, οι κώδικες , το φίλτρο Kalman από τη θεωρία ελέγχου και ο αλγόριθμος RSA της κρυπτογραφίας δημόσιου κλειδιού.
Ταυτόχρονα, βαθιές γνώσεις έγιναν σχετικά με τους περιορισμούς στα μαθηματικά. Το 1929 και το 1930 , αποδείχθηκε ότι η αλήθεια ή η αναλήθεια όλων των δηλώσεων που διατυπώθηκαν σχετικά με τους φυσικούς αριθμούς συν ένα της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού , ήταν δυνατό να αποφασισθεί , δηλαδή θα μπορούσε να καθορίζεται από κάποιο αλγόριθμο .Το 1931 , ο Kurt Gödel διαπίστωσε ότι αυτό δεν ίσχυε για την περίπτωση των φυσικών αριθμών ταυτόχρονα για την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό: Αυτό το σύστημα , γνωστό ως αριθμητική Peano , ήταν στην πραγματικότητα ανολοκλήρωτη. ( Αριθμητική Peano είναι επαρκή για μια καλή συμφωνία της θεωρίας αριθμών , συμπεριλαμβανομένης της έννοιας του αριθμού prime ). Μια συνέπεια των δύο θεωρημάτων της μη πληρότητας του Γκέντελ είναι ότι σε κάθε μαθηματικό σύστημα που περιλαμβάνει αριθμητική Peano ( συμπεριλαμβανομένων της ανάλυσης και τη γεωμετρίας ) , outruns απαραίτητα αποδεικτικά στοιχεία , δηλαδή υπάρχουν αληθείς δηλώσεις που δεν μπορούν να αποδειχθούν μέσα στο σύστημα .Ως εκ τούτου, τα μαθηματικά δεν μπορούν να μειωθούν σε μαθηματική λογική , και το όνειρο του Ντάβιντ Χίλμπερτ να γίνουν όλα τα μαθηματικά πλήροι και συνεπή έπρεπε να αναδιατυπωθεί.
Ένα από τα πιο πολύχρωμα σχήματα στα μαθηματικά του 20ου αιώνα ήταν Srinivasa Aiyangar Ramanujan ( 1887-1920 ) , ένας Ινδός αυτοδίδακτος που εικάζεται ή αποδεικνείει πάνω από 3000 θεωρήματα , συμπεριλαμβανομένων των ιδιοτήτων των εξαιρετικά σύνθετων αριθμών , η συνάρτηση επιμερισμού και ασυμπτωτικές του , και εικονικές συναρτήσεις θήτα . Έκανε επίσης σημαντικές έρευνες στους τομείς των λειτουργιών γάμμα , στις σπονδυλωτές μορφές , στις διαφορικές σειρές, στην Υπεργεωμετρική σειρά και την προνομιακή Θεωρία Αριθμών.
Ο Paul Erdős δημοσιεύσε περισσότερα έντυπα από οποιαδήποτε άλλο μαθηματικό στην ιστορία , σε συνεργασία με εκατοντάδες συνεργάτες . Οι μαθηματικοί έχουν ένα παιχνίδι που ισοδυναμεί με το Κέβιν Μπέικον παιχνίδι, το οποίο οδηγεί στον αριθμό Erdős ενός μαθηματικού . Αυτό περιγράφει τη « συνεργατική απόσταση " ανάμεσα σε ένα άτομο και του Παύλου Erdős , όπως μετράται από την κοινού πατρότητα των μαθηματικών εγγράφων.
Η Έμμυ Νόεθερ έχει περιγραφεί από πολλούς ως η πιο σημαντική γυναίκα στην ιστορία των μαθηματικών,καθώς ξεσήκωσε τις θεωρίες των δακτυλίων , τα πεδία , και άλγεβρες .
Όπως και στις περισσότερες περιοχές της μελέτης , η έκρηξη των γνώσεων στην επιστημονική ηλικία έχει οδηγήσει στην εξειδίκευση. Μέχρι το τέλος του αιώνα υπήρχαν εκατοντάδες εξειδικευμένοι τομείς στα μαθηματικά και το "Μαθηματικά Θέματα Ταξινόμησης" απαριθμούσε δεκάδες σελίδες. Όλο και πιο πολλά μαθηματικά περιοδικά εκδόθηκαν και , μέχρι το τέλος του αιώνα , η ανάπτυξη του Παγκοσμίου Ιστού Αναζήτησης οδήγησε στην online δημοσίευση.
- 21ος αιώνας
Το 2000, το Ινστιτούτο Clay Mathematics ανακοίνωσε το βραβείο των επτά προβλημάτων της χιλιετίας, και το 2003 η εικασία Poincaré λύθηκε απο τον Grigori Perelman (που αρνήθηκε να παραλάβει το βραβείο, αφου ο ίδιος ηταν επικριτής για τη δημοσιοποίηση των μαθηματικών). Τα περισσότερα μαθηματικά περιοδικά έχουν τώρα online εκδόσεις, καθώς και τις έντυπες εκδόσεις, και πολλές σε απευθείας σύνδεση-μόνο με περιοδικά που κυκλοφορούν. Υπάρχει μια αυξανόμενη τάση προς την ανοικτή πρόσβασης, που πρώτη διαδόθηκε από το arXiv.