Βαβυλωνιακά Μαθηματικά
Ο όρος "βαβυλωνιακά μαθηματικά" αναφέρεται στα μαθηματικά που αναπτύχθηκαν από τους λαούς της Μεσοποταμίας (σύγχρονο Ιράκ), από τους πρώτους Σουμέριους μέχρι την Ελληνιστική περίοδο περίπου, ως την εμφάνιση του Χριστιανισμού.[10] Ονομάζονται Βαβυλωνιακά μαθηματικά λόγω του κύριου ρόλου της Βαβυλώνας ως τόπου σπουδών. Αργότερα, κατά την Αραβική αυτοκρατορία, η Μεσοποταμία, ειδικότερα η Βαγδάτη, αποτέλεσε ξανά σημαντικό κέντρο σπουδών, αυτή τη φορά για τα Ισλαμικά μαθηματικά.
Σε αντίθεση με την ανεπάρκεια των πηγών στα Αιγυπτιακά Μαθηματικά , η γνώση μας για τα Βαβυλωνιακά μαθηματικά προέρχεται από περισσότερα από 400 πήλινα δισκία που ήρθαν στο φως το 1850. [94] Γραμμένα σε σφηνοειδή γραφή, τα δισκία ήταν χαραγμένα ενώ ο πηλός ήταν υγρός , και ψήνονταν σε φούρνο ή από τη θερμότητα του ήλιου. Μερικές από αυτές φαίνεται να ταξινομούνται σε εργασίες .
Τα αρχαιότερα στοιχεία καταγεγραμμένων μαθηματικών χρονολογούνται πίσω στους αρχαίους Σουμέριους, οι οποίοι έχτισαν τον πρώτο πολιτισμό της Μεσοποταμίας. Ανέπτυξαν ένα σύνθετο σύστημα μετρολογίας από το 3000 π.Χ. Από περίπου το 2500 π.Χ. και μετά, οι Σουμέριοι έγραψαν πίνακες προπαίδειας σε πήλινες πλάκες και αντιμετώπισαν γεωμετρικές εξισώσεις και προβλήματα διαιρετότητας. Τα πρώτα ίχνη των Βαβυλωνιακών αριθμών επίσης χρονολογούνται σε αυτήν την περίοδο.[11]
Η πλειοψηφία των πήλινων πλακών που έχουν ανακτηθεί χρονολογείται από το 1800 στο 1600 π.Χ., και καλύπτει θέματα που περιλαμβάνουν συναρτήσεις, άλγεβρα, τετραγωνικές και κυβικές εξισώσεις, και τον υπολογισμό των περιοδικών και αμοιβαίων ζευγών.[12] Οι πλάκες επίσης περιλαμβάνουν πίνακες πολλαπλασιασμού και μεθόδους επίλυσης γραμμικών και τετραγωνικών εξισώσεων. Η πλάκα YBC 7289 δίνει μία προσέγγιση της √2 με ακρίβεια πέντε δεκαδικών ψηφίων.
Τα Βαβυλωνιακά μαθηματικά ήταν γραμμένα σε αριθμητικό σύστημα με βάση το 60. Από αυτό το σύστημα προέρχεται η σύγχρονη χρήση των 60 δευτερολέπτων σε ένα λεπτό, 60 λεπτών σε μία ώρα, και 360 (60 x 6) μοιρών σε έναν κύκλο, όπως επίσης και η χρήση των δευτερολέπτων και των λεπτών για να υποδηλωθούν οι υποδιαιρέσεις ενός τόξου. Η βαβυλωνιακή πρόοδος των μαθηματικών διευκολύνθηκε από το γεγονός ότι το 60 έχει πολλούς διαιρέτες. Επίσης, σε αντίθεση με τους Αιγυπτίους, τους Έλληνες και τους Ρωμαίους, οι Βαβυλώνιοι είχαν ένα πραγματικό σύστημα θέση-αξίας, όπου ψηφία γραμμένα στην αριστερή στήλη αντιπροσωπεύουν μεγαλύτερες τιμές, όσο και στο δεκαδικό σύστημα. Δεν είχαν, εντούτοις, ένα ισοδύναμο του δεκαδικού σημείου, και έτσι η αξία θέση ενός συμβόλου έπρεπε συχνά να συναχθεί από τα συμφραζόμενα. Από την άλλη πλευρά, αυτό το "ελάττωμα" είναι ισοδύναμο με τη χρήση σύγχρονης κινητής αριθμητικής υποδιαστολής ? Επιπλέον, η χρήση της βάσης 60 σημαίνει ότι κάθε αντίστροφος από έναν ακέραιο που είναι ένα πολλαπλάσιο των διαιρετών του 60 έχει αναγκαστικά μια πεπερασμένη επέκταση της βάσης 60. (στην δεκαδική αριθμητική, μόνο αντίστροφα πολλαπλάσια των 2 και 5 έχουν πεπερασμένες δεκαδικές επεκτάσεις. ) Κατά συνέπεια, υπάρχει ένα ισχυρό επιχείρημα οτι η αριθμητική του παλιού βαβυλωνιακού στυλ είναι πολύ πιο περίπλοκη από αυτή της τρέχουσας χρήσης.
Η ερμηνεία της Plimpton 322 ήταν η πηγή διαμάχης για πολλά χρόνια μετά που οριστικοποιήθηκε η σημασία της στο πλαίσιο των Πυθαγόρειων τριγώνων. Στο ιστορικό πλαίσιο, προβλήματα κληρονομικότητας που συμπελιλαμβάνουν την ισότητα περιοχής της υποδιαίρεσης τριγωνικών και τραπεζοειδών πεδίων (με ακέραιες πλευρές μήκους) να μετατράπηκαν γρήγορα στην ανάγκη να υπολογιστεί η τετραγωνική ρίζα του 2, ή να λυθεί η «Πυθαγόρεια εξίσωση" στους ακέραιους αριθμούς.
Αντί να εξετάζουμε ένα τετράγωνο ως το άθροισμα των δύο τετραγώνων, μπορούμε να θεωρήσουμε ισοδύναμα ένα τετράγωνο ως τη διαφορά των δύο τετραγώνων. Έστω a, b και c είναι ακέραιοι που σχηματίζουν μια πυθαγόρεια τριάδα: α ^ 2 + β ^ 2 = c ^ 2. Στη συνέχεια, γ ^ 2 - α ^ 2 = β ^ 2, και χρησιμοποιώντας την επέκταση για τη διαφορά των δύο τετραγώνων έχουμε (γα) (γ + α) = β ^ 2. Διαιρώντας με β ^ 2, γίνεται το γινόμενο δύο ρητών αριθμών και δίνει 1: (γ / β - α / β) (γ / β + α / β) = 1. Χρειαζόμαστε δύο ρητούς αριθμούς που είναι αντίστροφοι και οι οποίοι είναι διάφοροι από 2 (α / β). Αυτό λύνεται εύκολα χρησιμοποιώντας πίνακα με τα αμοιβαία ζεύγη. Π.χ., (1/2) (2) = 1 είναι ένα αμοιβαίο ζεύγος που διαφέρουν κατά 3/2 = 2 (a / b) Έτσι, a / b = 3/4, δίνοντας α = 3, b = 4 και έτσι c = 5.
Οι λύσεις της αρχικής εξίσωσης έτσι κατασκευάζονται επιλέγοντας ένα λογικό αριθμό x, από την οποία τα Πυθαγόρεια-τρίκλινα είναι 2x, x ^ 2-1, x ^ 2 + 1. Οι άλλες τριάδες γίνονται από την κλιμάκωση αυτών με έναν ακέραιο (η ακέραιη κλιμάκωση είναι το ήμισυ της διαφοράς μεταξύ της μεγαλύτερης και μιάς άλλης πλευράς). Όλες οι Πυθαγόρειες τριάδες προκύπτουν με αυτόν τον τρόπο, και τα παραδείγματα που παρέχονται σε Plimpton 322 περιλαμβάνει μερικούς πολύ μεγάλους αριθμούς, από τα σύγχρονα πρότυπα, όπως (4601, 4800, 6649) σε δεκαδική μορφή.